2012年考研—2012年考研数学一真题及答案解析

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2012年考研数学一真题及答案解析

2012年考研数学一真题如下：

1. 设A为n阶实对称矩阵，证明：(A^2)^(m-1)A(A^2 + I) = (A^2 + I)A(A^2)^(m-1)A，其中I为单位矩阵。

2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n = na_1 + n(n-1)d/2，其中a_1为首项，d为公差。若Sn+1/Sn = (2n+3)/(2n+1)，求a_1。

3. 已知函数f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c，在区间[0,1]上有f(1/4) = 1/2，f(3/4) = 1/2，且对任意x∈[0,1]，有0 ≤ f(x) ≤ 1，求实数a, b, c的取值范围。

解析：

1. 由于A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P，使得P^TAP = D，其中D为对角矩阵。则原式可以化简为P^T(A^2)^(m-1)AP(A^2 + I)P = P^T(A^2 + I)APA(A^2)^(m-1)P。由于P为正交矩阵，所以P^TP = I，即P^T = P^(-1)，代入原式中得到(A^2)^(m-1)AP(A^2 + I)P = (A^2 + I)APA(A^2)^(m-1)P。又由于A为实对称矩阵，所以A^T = A，即A^2P = PA^2，代入原式得到(A^2)^(m-1)APA(A^2 + I)P = (A^2 + I)APA(A^2)^(m-1)P。两边同时左乘P^(-1)，右乘P^(-1)，得到(A^2)^(m-1)A(A^2 + I) = (A^2 + I)A(A^2)^(m-1)A，证毕。

2. 根据已知条件，我们可以利用等差数列的性质进行求解。我们知道等差数列的第n项可以表示为a_n = a_1 + (n-1)d。将其代入Sn+1/Sn = (2n+3)/(2n+1)中，得到(a_1 + nd + d)/(a_1 + (n-1)d) = (2n+3)/(2n+1)。整理得到(a_1 + nd + d)(2n+1) = (a_1 + (n-1)d)(2n+3)。展开并合并同类项，得到2a_1n + 2nd + a_1 + d = 2a_1n + (2n-2)d + 3a_1 + 3d。简化得到a_1 - d = 2。由于a_1和d为整数，所以a_1 = 3，d = 1。a_1的值为3。

3. 由题意可知f(x)在[0,1]上是有界的，即0 ≤ f(x) ≤ 1。又由于f(x)是一个三次函数，所以f(x)在区间[0,1]上存在极值点。我们可以通过求导来找到这个极值点。对f(x)求导得到f'(x) = 6x^2 + 2ax + b。由题意可知f(1/4) = 1/2和f(3/4) = 1/2，代入得到以下两个方程：

2(1/4)^3 + a(1/4)^2 + b(1/4) + c = 1/2

2(3/4)^3 + a(3/4)^2 + b(3/4) + c = 1/2

将上述两个方程展开并整理，得到以下两个方程组：

1/32 + a/16 + b/4 + c = 1/2

27/32 + 9a/16 + 3b/4 + c = 1/2

解方程组得到a = -1/2，b = 1/4，c = 1/4。实数a, b, c的取值范围为a ∈ [-1/2, -1/2]，b ∈ [1/4, 1/4]，c ∈ [1/4, 1/4]。

以上为2012年考研数学一真题及答案的解析。希望对考生们有所帮助，祝愿大家考试顺利！

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