常见勾股定理的证明方法有哪些

职业教育网 2025-12-27 06:59:11

常见勾股定理的证明方法有哪些

常见的勾股定理的证明方法有欧几里得证法、邹元治证明、赵爽证明、梅文鼎证明、项明达证明、李锐证明、陈杰证明等等。

勾股定理

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a2+b2=c2。

常见的勾股定理的证明方法

（一）欧几里得证法

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结。

BF、CD.过C作CL⊥DE

交AB于点M，交DE于点L

∵AF=AC，AB=AD

∠FAB=∠GAD

∴ΔFAB≌ΔGAD

∵ΔFAB的面积等于ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半

∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴a2+b2=c2

（二）项明达证法

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90°，QP∥BC

∴∠MPC=90°

∵BM⊥PQ

∴∠BMP=90°

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°

∴∠QBM=∠ABC

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF

即a2+b2=c2。

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边:

如果a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。

如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形（若无先前条件AB=c为最长边，则该式的成立仅满足∠C是锐角）。

如果a²+b²

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